2009年高考数学试题解析

湖北省教研室   周远方

湖北省大冶市第一中学   余锦银 435100

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高考命题虽说千变万化，但只要认真研究考纲和近几年高考试题的命题特点及其变化趋势，找出相应的一些规律，我们就可以大胆地猜想高考解答题命题的一些思路和趋势，提高我们复习备考的有效性与针对性，少做无用功。对待高考，我们应该采取正确的态度，在大胆预测的同时，更要注重基础知识的进一步巩固，多做一些简单的综合练习，巩固学生三基，提高学生的解题能力。2009年高考已经结束，笔者认真研读了全国及各地共39套高考试题，特别是其中的数列题，旨在从整体上把握全国高考数列题的命题特点，若能对广大读者今后的高考数列备考有所启示，则是笔者最大的荣幸！

（1）对于数列的概念，旧大纲要求是理解，新课标大纲要求是了解，降低了要求，同时新课标大纲明确提出要通过实例来了解数列的概念。

（2）旧大纲对数列通项公式的要求单独提出来，突出了通项公式在数列表示方法中的重要地位，而新课标大纲把数列的通项公式归为几种简单表示方法中的其中一种，与列表表示、图象表示放在同等的地位。

（3）新课标大纲要求了解数列是一种特殊的函数，旨在说明很多数列问题可以用函数的思想方法解决。

（4）新课标大纲在等差、等比数知识的应用方面，更加强调创设具体的问题情境，要求学生自己去发现等差、等比关系。在知识的应用方面，旧大纲要求能用等差数的知识解决简单的实际问题，而新课标大纲则要求解决相应的问题，在知识的应用方面，新课标除了加强外，应用问题的难度并没有做出具体明确的限制。

（5）新课标大纲对等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系明确提出来，要求学生去体会它们的关系。

教学与考试的内容：

数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．

教学目标与考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

《普通高中数学课程标准》数列教学的规定：

（1）数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．

（2）等差数列、等比数列

    ①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．

    ②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．

    ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题

④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．

《数学（理科）考试大纲(课程标准实验版)》对数列考试的规定：

新课程的省份有山东、海南、宁夏、广东、江苏、天津、福建、辽宁、安徽、浙江。

09年全国及各地共39套高考数学试题中，考查数列方面的题型有选择题、填空题、解答题，考查的知识点有：等差数列的概念、通项公式及前n项和，等比数列的概念、通项公式及前n项和，数列的递推关系，以及等差、等比数列的交汇，数列与极限、曲线、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识的交汇．分值在4～23分，大多数试卷的分值在16～19分．详细情况如下表：

数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。从09年全国及各地共39套高考数学试题可以看出，今年在数列方面的的试题，重视考查的等差、等比数列的基本概念、基本性质、基本方法，重视数列内部综合以及数列与其它知识的交汇．在数列的表达上，重视用递推关系表示数列，尝试用曲线和导数表示数列，重视数列的各种表示法的相互转化．在思维与能力方面，既重视合情推理，又重视逻辑推理，还重视对运算能力的考查；在思想与方法方面，重视模型的思想，转化的思想。

09高考数列题一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，回避了技巧性很强的放缩法，也回避了绝大多数学生都无法动手的递推数列。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

在往年高考试题中，数列多与函数、导数、不等式等知识相结合作为高考的“压轴题”出现，难度较大.今年的高考很多省份的数列题都淡出“压轴题”，主要考查了三个方面：（1）等差数列与等比数列的基本性质和基本运算；（2）求简单递推数列的通项公式与数列求和问题；（3）数列与函数以及简单不等式相结合.除了上海卷、四川卷、湖南卷、重庆卷四地文理试卷都以数列不等式作最后一道压轴题外，还有天津卷、陕西卷、江西卷、广东卷、安徽卷五地理科试卷以数列不等式作最后一道压轴题，其余各地试卷文理科数列题都不在压轴题位置，甚至海南、宁夏卷、浙江卷、福建卷（理）、辽宁卷（理）没有数列解答题。即使以数列题作最后一道压轴题,其难度、技巧性也低于往年。这种将数列题前置的做法体现了命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

课本不仅仅是内容及符号上的统一，而且是定义、定理、公式等叙述上的规范，同时很多高考试题在教材中都有原型，有的试题直接取材于教材，有的试题是由课本概念、例题、习题的改变而成，有的试题是教材中的几道题目、几种方法的串联、并联、综合与拓展，少量难题也是按课本内容设计的，不过在综合性、灵活性上提出较高要求。今年的数列高考题，不仅有大量的选填题直接考查课本中等差、等比数列的基本概念和性质，而且有大量的解答题也是直接考查课本中的基本量思想、错位相减法、邻差法（笔者将“写出相邻两个递推关系，再作差运算”的方法称为“邻差法”，源于课本公式）。如理科的湖北卷19、全国Ⅰ卷20、天津卷22等都直接考查了错位相减法，全国Ⅱ卷14、山东卷20、湖北卷19、四川卷22等都直接考查了邻差法。

例3.（安徽文科卷，19）已知数列{ } 的前n项和，数列{ }的前n项和

（1）求数列{ }与{ }的通项公式；

（2）设，证明：当且仅当n≥3时，＜

解析：当时，

当时，

也适合上式，∴

当时，，∴

当时，，∴

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，∴。

（2）由（1）知，∴

当时， 2，当时，

当 时，，因此，当且仅当n≥3时，＜

点评：由可求出，这是课本中求数列通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差（商）比较法来比较大小，这也是课本中比较大小或证明不等式的常用方法。

例5.（广东卷，４）已知等比数列满足，且，则当时，

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

在往年的数列不等式压轴题中，往往都涉及到技巧性很强的放缩法，有的试题难度达到全国数学联赛一试最后一题的难度。而今年的数列不等式证明题主要考查课本中考生熟悉的作差比较法、数学归纳法、二项式定理法、导数法，特别是数学归纳法。

例7.（湖北卷，19）已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解析：（I）对已知条件：使用邻差法，得：。

 ， 又数列是首项和公差均为1的等差数列.

 于是 .

(II)由（I）得，为等差数列与等比数列相应项之积，所以由错位相减法算得： 。再由作差比较法得：

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

可猜想当下面再用数学归纳法或二项式定理法证明猜想成立即可。

例9.（安徽卷，5）已知为等差数列， ++=105， =99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是

（A）21      （B）20     （C）19    （D） 18

解析：由 ++=105得即，由 =99得即  ，∴，，由得，选B。

点评：本题也可以不使用等差数列的性质，而使用运算量较大的基本量思想求出首项、公差，这就是算法与算理的选择。本题还可在求出等差数列的前n项和后，使用配方法或图像法求解。不同的考生使用不同的求解方法，体现不同的思维水平和不同的运算能力。

数列常与其他知识整合，其中包括数列与函数（导数）、方程（曲线）、不等式、三角函数、几何等知识的交汇。由于数列是特殊的函数，因此，数列与函数的关系是十分密切的，近几年常见在数列试题中置入函数背景，或者将数列问题与函数问题结合起来命题．在今年的考题中，数列内容与不等式内容相结合进行命题，仍是考查数列问题的主要形式，有时以“压轴题”的形式出现．这类问题通常是估计通项、数列不等式恒成立等参数的范围问题、受等比数列“控制”的和式不等式的证明问题．

例10.（山东卷，20）等比数列{ }的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记，

证明：对任意的  ，不等式成立。

解析：因为对任意的 ,点，均在函数且均为常数的图像上，所以得，由邻差法可知：当时, ,当时, ,又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,

（2）当b=2时， ,   

则，所以

下面可用数学归纳法证明不等式成立.

点评：本题综合了指数函数图像、对数函数、等比数列的定义、通项公式、以及已知求的基本模型，并与运用数学归纳法证明与自然数有关的命题，以及用放缩法证明数列不等式交汇。

例11.（陕西卷,22）已知数列满足， .

（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；（2）略。

解析：（1）由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明猜想正确即可。

（1）当n=1时，已证命题成立    （2）假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

点评：本题及上面的“湖北卷，19，第Ⅱ问”都属于归纳性猜想，归纳性猜想往往从特例或特殊值出发，通过观察对比，洞察特例的共性特征，猜想一般结论和规律，最后证明猜想的正确性。这样就将一道没有明确目标的解答题转化成了方向明确的证明题了，如下面北京卷第14题递推数列周期的发现；另一方面，通过特值命题解决思路和方法的启发，可寻求原命题的解决思路与方法，如数学归纳法第二步传递性的证明常常能从第一步初始值命题的证明中得到启发．数学家波利亚告诉我们“在证明一个数学问题之前,你先得猜想这个问题的内容；在你完全作出详细证明之前，你先得猜想证明的思路”，这就是他解题时的“绝招”。

解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.

解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，，，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

问题情境和设问方式的创新与多变，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查考生观察特征、发现本质，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。今年高考数列题的问题情境和设问方式丰富多彩，求解这类问题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列的有关知识来求解。

①问题情境丰富多彩。今年高考试题中，数列的表述形式丰富多彩，除了常见的等差数列、等比数列、递推数列外，还出现了周期数列、分段数列、曲线切线和导数表示数列。

例14.（北京卷，14）已知数列满足：则 ________； =____________。

解析：本题主要考查周期数列等基础知识.依题意，得， . ∴应填1，0.

例15.（湖北卷，15．）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。

解析：本题主要考查分段数列的处理方法，可类比分段函数来处理.（1）若为偶数，则为偶, 故

①当仍为偶数时，  故

②当为奇数时，，故得m=4。

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以 =1可得m=5

②设问方式丰富多彩。数学高考题有的只有一个设问、有的有多个设问。一个设问情况下，通常有以下几种设问方式： “是、或、且、非”式（考查学生的逻辑思维能力）、 “类比推广”式（考查学生的合理推理能力）、 “是否”式（考查学生的探索能力）、 “开放”式（考查学生的发散思维能力）。高考把关题往往采取“分步设问、分散难点、渐次递进”的方式，有多个设问，从几个设问之间的层次关系的角度，主要分为并列是设问方式、递进式设问方式和开放是设问方式。当然，对于每一个设问，仍有可能是上面的几种形式。

解析：（1）直接研究通项，由， 整理后，可得，，为整数，不存在，使等式成立。

（2）回归定义和基本量，设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，

 ，对都成立，

      （i）若，。

      （ii）若，则

       综上所述，，使对一切，。 

 （3），设则

       ，，，  

       取，

       由二项展开式可得整数，使得，

       ，存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立。

点评：开放性试题可以很好地考查学生的探究能力，本题三问都是条件开放试题．需要考生探索使结论成立的条件。

例18.（四川22）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

解析：（Ⅰ）用邻差法可求出：，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，代入整理得：

 又，当

当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设

则 <

当n为奇数时，设

则 <

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4。

点评：本题（II）与（I）、（III）与（I）都属于递进式设问方式，（II）与（III）属于并列式设问方式上面例6也是递进式设问方式。另外，本题第（II）问证明的数列不等式需使用技巧性很强的放缩法，其实若使用高观点来思考，就可知任何高考数列题都应该受课本等差、等比数列“控制”，因此右边的常数应该与一个等比数列的前n项和有关，于是问题就转化为两个数列间的通项放缩。本题第（II）问属于探索性猜想，先取n为特殊值：“大于1的奇数”，探索出：，故的最小值为4，再证明此时命题对一切的正整数n都成立。

 “递进式”设问方式是指题目中有两个以上的小问，所问的内容依次深入，问题的难度依次增加，前后问间彼此衔接，并层层推进，前一问解答的正确与否将直接影响到下一问的解答，这就是“递进式”题型。每年高考压轴题一般都是这种设问方式。对于递进式设问方式设置的问题，正因为前一问往往是后一问的铺垫，所以后一问也往往需要借助前一问的结论作答，即借步作答。

例19.（海南卷，7）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若 =1，则 =

（A）7 （B）8   （3）15 （4）16

解析：本题只要掌握课本等差、等比数列的基本性质就可求解。 4，2，成等差数列， ,选C.

教师复习时都注重解题思路的分析，而忽视正确、合理的运算能力的培养，今年高考中的数列试题难度有所下降,但计算量比较大,对学生运算能力的要求比较高。而运算能力薄弱正是学生的致命弱点,这次考试把这个问题突出了出来,这就要求我们必须重视和切实加强对学生运算能力的培养。

例20.（海南卷，16）等差数列{ }前n项和为。已知 +-=0， =38,则m=_______

解析：本题虽没有错位相减法的运算量，但要又准又快地求解，必需一定得运算能力，由 +-=0得到。

解析：，

=。

教师在复习备考中虽然也都强调了通性通法的重要性，但对于特殊技巧与方法却常常在不经意中花费太多时间。结果在大量的训练中对通性通法的总结与归纳远远达不到要求，却在特殊技巧与方法上强调得太多，无形中给教师和学生都增加了不少“令人烦恼”却不一定有益的负担。

例22.（安徽卷，21）首项为正数的数列满足      

（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

（II）若对一切都有，求的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解析：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

（II）由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。