湖北省大冶市第一中学 余锦银 435100
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高考试题在“露脸”前属国家“绝密”，总是让人充满神秘的期待，可考生一进考场就又有些紧张，常常不能正确解读题意，其实，高考试题常常会给考生一些暗示，关键是看考生能否读懂暗示、识破关系。下面结合具体实例，谈谈高考试题自身对其解答思路的几类暗示。
1数据暗示。依据数据特征，合理分拆，使数据和谐统一。
试题可以通过数据特征暗示解题思路。将题设中的数据通过加、减、乘、除等运算往往能实现相互表达，而一旦发现数据中暗含的这种和谐统一，问题往往都能迎刃而解。
例1．（1997全国，18）的值为_____.
分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如题中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º.
解析：＝＝
＝tan15º==
例2．（06重庆卷，１３）已知 ，则 。
解析：已知 ，，，∴，，
则
==
点评：着手研究已知与结论中相关量的相互表达——这也是消灭条件与结论之间的差异的重要途径。在三角题中，经常需要用到已知角与结论角的相互表达：常将已知角通过加、减这两种运算来表达结论角——主要用于求值；将结论角通过加、减这两种运算来表达已知角——主要用于证明。
2运算关系暗示。统一运算关系，求同存异，使运算关系和谐统一。
试题可以通过运算关系暗示解题思路。以和谐统一的观点作指导，一旦发现题设中暗含在运算关系中的玄机，问题往往也能迎刃而解。
例3．（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .
解析：令=t（t>0），由ab=a+b+3≥2+3，得t2≥2t+3，
解得t≥3，即≥3.故ab≥9。
点评：本题重在由和a+b与积ab的关系联想均值不等式，条件中有加法和乘法两种运算，而结论中只有乘法运算，要将条件化为结论，就必须应该消灭结论中没有的“加法”，保留结论中的乘法。
3结构特征暗示。依据题目结构特征与相关公式、结论的关联性，求同化归。
试题可以通过结构特征暗示解题思路。数学题一般都有其明显的结构特征,这种结构特征能告诉我们解题的关键,实质上就是暗示了解题思路的突破口。通过对题目结构的观察、直觉、想象,可以把握问题的本质和规律,确立正确的解题思路。
例4．（1996全国，18）tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____.
解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，
∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
点评：本题的结构特征很容易让人联想到正切的和角公式，于是由正切的和角公式一变形就很容易本题结果。
例5．（07天津卷，21）在数列中N其中.(I)求数列的通项公式.
解析：由N可得
所以为等数列，其公差为1，首项为0.故
所以数列的通项公式为
点评：本题既可以使用数学归纳法先猜后证，也可以在已知递推关系两边同除以，化成一阶线性递推关系，而本题充分观察式子的结构特征，将其转化成等差数列，简洁明了。
4等号的暗示。不等式中等号成立的条件，常常暗示着每一步放缩变形是否过度，能否进行。
试题可以通过等号成立的条件暗示解题思路，鲜有人注意到等号成立条件对不等式问题的解答有启发和导向作用。较难的不等式证明题常常需要用到放缩法，但放缩的“度”最难把握，要么放缩过渡，要么放缩不足。特别是使用多次放缩更容易造成等号不能同时成立而前功尽弃。其实题设中等号成立的条件对启发和明确我们的解题思路有很好的指引作用。
例6．已知a,b,c∈R*，且a+b+c=1，求证：
分析与简证：易探知当且仅当a=b=c=时，结论取“＝”．∵a,b,c∈R*，a+b+c=1∴，同理有=，=，此时很容易想到对上面三式都使用三元均值不等式化和为积消去字母：但由 知当且仅当时取等号，这与结论中“＝”成立的条件a=b=c=矛盾，故此路不通。若将上面三因式之积展开再使用二元均值不等式又很繁琐，若能充分利用结论中“＝”成立的条件a=b=c=的导向作用，则可将上面证明思路调整为：
，同理有，，等号都是当a=b=c=成立，这与结论中等号成立的条件保持一致，又由于都是正数，故将这三式累乘即可。
5选项的暗示。了解命题技术，读懂命题者意图，就可以谋“敌”之谋。
题目的解题思路可能隐藏在“命题者为什么要设置题设中的某个要素，为什么要以这样的方式呈现”之中。若考生能够知己知彼，了解命题教师设计试题的一些方法和技术，就更容易识破命题教师的“诡计”，做到百战不殆。
考生解答选择题时常常忽视选支中隐藏的暗示，其实当题设条件中提供的信息暗示答案是一个“确定值”时，可以取一些特殊值或一些特殊位置来确定这个“定值”，以节省推理论证的时间。
例7．（07天津卷，10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：本题若用直接法求解，需讨论t的符号，但选项暗示我们只要研究0，而不必讨论0的情况。本题亦可使用排除法：当则得,即在时恒成立,而最大值,是当时出现,故的最大值为0, 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项。选A。
例8．（07江西卷）5．若，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，选D
6位置的暗示。“并列”与“递进”是问与问之间最常见的关系，前者暗示“跳步作答”，后者暗示“借步作答”。
试题还可以通过递进式设问方式暗示解题思路，所谓“递进式”设问方式是指题目中有两个以上的小问，所问的内容依次深入，问题的难度依次增加，前后问间彼此衔接，并层层推进，前一问解答的正确与否将直接影响到下一问的解答，这就是“递进式”题型。每年高考解析几何压轴题一般都是这种设问方式，前一问求圆锥曲线，后一问研究所求圆锥曲线的性质。数列不等式的压轴题也通常是这种设问方式。
对于递进式设问方式设置的问题，正因为前一问往往是后一问的铺垫，所以后一问也往往需要借助前一问的结论作答，即借步作答。但如果解答前面的小题出错，那么后面的就会全部出错。
例9．（07山东卷，22）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）（分析：数列不等式的证明问题一般都是考虑使用数学归纳法、二项式定理、放缩法等，而这道数列不等式的证明问题置于这个位置，暗示它不是一个独立问题，其证明方法可能与题设函数有关，比较待证不等式与目标函数的结构特征就知道应该令）
当时，函数，
令函数，则．
当时，，所以函数在上单调递增，又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．所以结论成立．
点评：（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。
7高观点暗示。高观点可以帮助考生居高临下地看出问题的本质，窥见命题者设计的“机关”。
试题可以通过高观点来暗示解题思路。这是思维的至高点——观点越高,事物越显得简单。高观点的方法不仅可以使我们居高临下地去观察数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能够帮助我们剖析某些问题的实质，寻求简捷的解法。
在数列难题中我们可以受益于这样的高观点：任何中学数列题都受等差、等比数列的控制。当涉及到无穷项之和的不等式时，等差数列就控制不了了——否则其和往往是，此时只能被无穷等比递缩数列控制。这类问题的数列之和往往无法求，只能先放缩，明确被等比数列控制，就明确了放缩的方向。
例10．（07江西卷，14）．已知数列对于任意，有，若，则 ．
解析：以“任何中学数列题都受等差、等比数列的控制”作指导就使赋值法有了明确的目标和方向，由题意得，因此。
例11．（06江西卷，22）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝，（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
解析：（1）将条件变为：1－＝，据此易得an＝（n³1）…………1°
（2）证：据1°得，a1·a2·…an＝
为证a1·a2·……an<2·n！，只要证nÎN*时有>…………2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有
³1－（）…………3°
再用数学归纳法证明3°式对一切nÎN*都成立。
利用3°得，³1－（）＝1－
＝1－>，故2°式成立，从而结论成立。
点评：本题的难点是将常数拆分成一个无穷等比递缩数列的和。很多高考数列不等式压轴题中的常数都受一个无穷等比递缩数列的控制。又如下例：
例12．（2002全国理，21）设数列｛an｝满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1，2，3，…，（Ⅰ）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（Ⅱ）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有（ⅰ）an≥n＋2；（ⅱ）．
解析：（Ⅰ）an＝n＋1（n≥1）．（Ⅱ）（ⅰ）可用用数学归纳法证明：an≥n＋2．
（ⅱ）由an＋1＝an（an－n）＋1及（ⅰ），对k≥2，有
ai＝ak－1（ak－1－k＋1）＋1≥ak－1（k－1＋2－k＋1）＋1＝2ak－1＋1，……
∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1（a1＋1）－1．于是，k≥2．
．
点评：同上例一样，本题中的常数也是拆分成一个无穷等比递缩数列的和。
8特值暗示。解答题可借助特值引路，将解答题转化为目标明确的证明题。
试题还可以通过特值引路来暗示解题思路，先引导考生考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般规律，或从特例中得到启发，从而解决一般性问题。这样常能将一道没有明确目标的解答题转化成了方向明确的证明题了。
例13．（08四川卷，20）设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式。
解析：对已知等式由邻差法——写出相邻两个递推关系并作差运算，得 ①（Ⅰ）当时，由①知，再由等比数列定义可验证是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，类比的解答思路，由①得
因此
得
9直白指令或直接设置中间步骤暗示。
试题还可以通过直接指令的方式暗示解题思路，这常见于涉及递推数列的不等式压轴题。这类递推数列压轴题中的几个设问紧密联系在一起，解答后面的小题需要用到前面小题的结论，通过分步，将一个原本较难的递推数列问题，化成几个较低难度的等差、等比数列的问题——这既是高考命题专家为了控制试题难度而经常采用的一种方法和手段，同时又是高考命题专家对较难问题的探究步骤和思路的暗示，暗示考生不要走其它弯路和行不通的路。
例14．（2003上海春，12）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.
解析：因为f（x）=，∴f（1－x）=
∴f（x）+f（1－x）=.
设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）
∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6
∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.
点评：因发现f（x）+f（1－x）=有一定难度，需要考生有很强的观察能力、思维能力及解决问题的能力，本题直接指令考生利用课本中等差数列倒序求和的方法，为考生暗示了本题的一个思维模式。
例15．（08天津卷20）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式。
（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及累加法：，，…… ，（）．将以上各式相加，得（）．
所以当时，上式对显然成立．
点评：有了第（Ⅰ）问中是等比数列的提示，顺着这条思路就可由累加法求出数列的通项公式。其实，善于观察数据特征的考生，只要见到题设递推关系的系数特征，即使没有第（Ⅰ）问的引导和暗示，也能顺利解出此题。
总之，一定要准确、全面、认真地审清题目中所给的每一个条件，以利于从整体上把握题目的结构框架和特征，特别是关键的词语、数据、位置、数学语言和符号等，有时这些细节就是命题者对解题思路的重要提示信息。
参考文献：
[1][美] G·波利亚.数学与猜想，北京：科学出版社，1984
[2][美] G·波利亚.数学与似真推理，福州：福建人民出版社，1985
[3]余锦银. 先猜后证的数学思想在解题中的应用，北京：《中学数学教与学》2008年第3期
[4]余锦银. 由一道2007年高考压轴题引发的思考，武汉：《中学数学》2007年第9期
本文发表于《数学通讯》
