由一道高考题引发的思考与探究

试题：过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。

（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）（略）

这是2009年湖北高考文理卷共同的第20题（文科题目有图，理科没图），这道解析几何解答题以抛物线为载体，以直线与抛物线的位置关系为依托，以课本复习参考题为起点，以直角梯形的性质为落脚点，将数形有机整合，融为一体，于动态中产生静态的结论，让考生在动静结合之中展现理性思维过程及思维品质。这道解析几何证明题具有深入探究的价值：题目不难，很便于进行一题多解探究和深入本质的拓展延伸，有一定的导向作用。本文就以该题为载体，做些探究，以供同仁参考。

证法一（纯平面几何法）：由抛物线的定义得：

当时，点即为抛物线的焦点，为其准线，如图可设准线l与x的交点为，则

而

即，，故。

证法二（纯向量法）：如图，设∠MAx=θ,则

证法三（三角法）：如图，设∠MAx=θ,则AM cosθ+ =，即

AM cosθ+p= AM，

∴AM=  ,同理AN=。

∴ =AMsinθ=,=，∴

证法四（讨论斜率法）：（1）当直线MN⊥x轴时，则有M（，p），N（，－p）,M₁(－ ,p),

N₁( ,－p),∵，∴AM₁⊥AN₁

（2）当直线MN不与x轴垂直时，可设直线MN的方程为y=k(x－ ),(k≠0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则有M₁(－ ,y₁),N₁(－ ,y₂),由，消去x可得：

ky²－2py－kp²=0, 从而y₁y₂=－p²，

∵故垂直

解（避免讨论斜率的坐标法）：依题意，可设直线MN的方程为，则有

由消去x可得  

从而有                         ①

于是        ②

又由，可得            ③

（Ⅰ）如图，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线，此时  ①可得                        ④

证法七（射影定理与解几结合法）：∵|M₁A₁|=|y₁|,|N₁A₁|=|y₂|,| AA₁|=p, 由④可得|y₁y₂|=p²,故|M₁A₁|·|N₁A₁|=|AA₁|²，由直角三角形射影定理的逆定理可知∠M₁AN₁=90°，故AM₁⊥AN₁

证法八（利用直径所对的圆周角等于90°）：设M₁N₁的中点为C（x₀,y₀）,则x₀=－ ,又由①可得y₀=，∴由两点间的距离公式可得：|AC|= ,

将y₁+y₂=2mp与④代入|M₁N₁|=|y₁－y₂|=可得：|M₁N₁|=

∴|M₁N₁|=2|AC|，即点A在以|M₁N₁|为直径的圆上，所以∠M₁AN₁=90°，故AM₁⊥AN₁

证法九（韦达定理法）：在直角三角形中，|AM₁|²=p²+y₁²,同理在直角三角形中，|AN₁|²=p²+y₂²,∴由韦达定理可知|AM₁|²+|AN₁|²=2p²+y₁²+y₂²=2p²+(y₁+y₂)²－2y₁y₂=4p²m²+4p^{2      又|M₁N₁|2=（y₁－y₂）2=（y₁+y₂）2－4y₁y₂=4p2m2+4p2}

∴|AM₁|²+|AN₁|²=|M₁N₁|²，故AM₁⊥AN₁     

    以上这九种解法中，解法一、解法三以几何分析为主，解法二以向量分析为主，这三种解法独立于解析几何坐标法之外，后面虽然还有六种解法，但都绕不开一个课本结论：，都用到了解析几何中的坐标法，只是思考问题的角度不一样而已。这道题可以为我们明确这样的复习方向：重视教材、重视通性通法，解题既要抓住问题的关键，又要驾驭所学知识灵活解题。

【结论2】以MN为直径的原恰好与准线L相切。

【结论3】以MF为直径的原恰好与y轴相切。

【结论4】以M₁N₁为直径的圆恰好经过F点。

2.2设抛物线焦点弦的两个端点，则有定值：和。那么是否还存在其他定值呢？

笔者在该题的高考阅卷中发现许多考生都暴露出以下几个问题：①推理论证能力较弱，变形化简能力欠缺，很多考生使用解析几何中常规的坐标法，写了很多，就是不见得分点：；②数学基础差，基本概念模糊不清，双基掌握不扎实，有些考生使用平面几何知识证明该题时，连同位角、内错角都分不清；③运算能力差，运算失误，运算不当，变形不当。有部分考生竟得出，或者经过非常复杂的变形才得出；④表达能力差，许多考生在该题的解答过程中，表述凌乱，符号滥用，书写潦草，格式不规范，表述不清，或步骤不全、跨步大、跳跃大，只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”；⑤数学思想淡薄，很多考生根本都缺乏分类讨论的思想及目标消差等意识，很多考生都将直线MN的方程设为y=k(x－ )，(k≠0)，或忽视讨论斜率不存在的情况而丢分，或因讨论费时而造成隐性时间失分；⑥思维比较狭隘呆板，一些基础较差的学生，在做题时缺乏目标意识，没有明确的解题方向，面对条件不知如何是好，其实只要对目标稍作分析：，，就可知要证目标AM₁⊥AN₁成立的关键就是求出，由于涉及两根之积，此时，“设线入手+韦达定理”就是水到渠成的思路了。一些基础较差的学生，在做题时缺乏目标意识，没有明确的解题方向，面对条件不知如何是好，其实只要对目标稍作分析：，，就可知要证目标AM₁⊥AN₁成立的关键就是求出，由于涉及两根之积，此时，“设线入手+韦达定理”就是水到渠成的思路了；⑦缺乏答题经验与策略，“审题慢、答题快”读不懂题或读题草率，观察题目特征不准确，因此有的考生写了很多，可就是不知道他要表达什么；或在遇运算量较大的题目时，不讲策略、不理性思维、不去寻求更好的解法或算法，若将直线MN的方程设为：，则可避免讨论斜率不存在的情况。

鉴于以上分析，要搞好解习几何复习备考，至少需要做好以下几点：

①在解几复习中，要注意培养学生的逻辑推理能力，首先是讲清概念，教好定理，然后是注重步骤分析，加强逻辑训练，使学生真正做到“数学地表达”：会画图、会用数学形式表示、会条理地叙述解题过程。

②为了培养学生的思维灵活性，解几复习时应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。另一方面，还要鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。

③不仅要讲直线方程的设法，还要在解几复习中引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。

④在解几复习中，一方面要加强对学生运算能力的训练，以提高学生运算的正确率和速度。另一方面，还要使学生掌握解析几何中速算的要领和“简化计算”的各种技巧。