湖北省大冶市第一中学 余锦银 435100
1、考纲要求
①理解子集、补集、交集、并集的概念；②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．⑤理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；⑥理解四种命题及其相互关系；⑦掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
2、考纲解读
集合是近代数学的基础，简易逻辑为数学学习和运用知识解决问题提供了知识上的准备，是历年高考的必考点。纵观近三年的高考试题，集合、简易逻辑以选择题、填空题为主，难度多位于中、低档。而概念多是这个板块一大特点，因此做好本板块复习备考，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.
3、重难点解读
重点：①集合的三大性质；②集合的表示方法；③集合的子、交、并、补等运算．④逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；⑤充要条件的概念；⑥反证法的应用．
难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查．④充要条件的判断；⑤以简易逻辑为载体命制的开放性问题、新情景问题．
4、考点解读（题型梳理）本章的考查的重点集中体现在以下几点：
4．1考查集合本身的知识，即集合本身的有关概念、关系运算等。涉及到的方法有：观察法，数轴法、文氏图法(数形结合)等。
例1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
答案：C
点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例2．设集合，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。选项为D；
点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。
例3．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
A．P Q ．Q P ．P=Q ．P∩Q=QDCB
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：
①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。
综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}。答案为A。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
4．2考查对集合语言与集合思想的运用，如方程与不等式的解集、函数定义域和值域、曲线间的相交问题等，也即集合作为工具在数学中的应用。
例4．设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解： 选B．如右图，在同一坐标系画出两个点集所表示的图象．由图象可知，两曲线有两个交点，即有两个元素．
析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的 事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围” 这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质
解：由得
x2+（m－1）x+1=0 ①
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
例6．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：设全集U={七名学生没有任何限制条件地排成一排}，
集合A={甲站在最左端的位置}，B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中间的位置}，D={丙站在正中间的位置}，则集合A、B、C、D的关系如图所示，
∴不同的排法有种.
点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。
4．3考查命题和充要条件的知识，命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力
例7．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：若“ ”，则函数 =在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则a≤1，所以“ ”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.
例8．已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且 1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件即，或，∴，或，
已知条件即，∴，或；
令，则即，或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
例9．已知p：|1－ |≤2，q：x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若 p是 q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解：由题意知，命题 若 p是 q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件
p：|1－ |≤2－2≤－1≤2－1≤ ≤3－2≤x≤10
q：:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *
∵p是q的充分不必要条件，
又∵m>0
∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m
∴，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
点评 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性。本题解题的关健是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了
例10．设、为两个非空实数集合，定义集合，若，则P+Q中元素的个数是_______________．
解： 因为，所以．当时，分别取1，2，6可得分别为1，2，6；当时，分别取1，2，6可得分别为3，4，8；当时，分别取1，2，6可得分别为6，7，11．综上：，故中有8个元素．
例11．设A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x A∩B}.已知A={x|y= },B={y|y=2x,x>0},则A×B等于 （ ）
A.［0,1)∪(2,+∞) B.［0,1］∪［2,+∞) C.［0,1］ D.［0,2］
解：A.∵A=［0,2］,B=(1,+∞),∴A×B={x|x∈A∪B且x A∩B}=［0,1)∪(2,+∞)。
本文发表于（中小学数学）
