黄俊峰 袁方程
湖北省大冶市第一中学 435100
E-mail：flame3140@163.com
高考除了要考查学生的基础知识和常用的数学思想方法外，还要考查学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力以及创新意识，特别是高考命题将“知识立意”变为“能力立意”以来，注重在知识的交汇处设计试题，这就要求高三数学老师不但认真研究《考试说明》）和教材外，还要求深入钻研历年来（特别是近几年来）的高考试题，这样才能有利于高三数学教学。基于这一点，笔者通过对历年高考数学试题的深入研究，发现高考数学试题主要来源于以下五个方面：即将课本中的例题与习题、历年的高考试题、历年的初高中数学竞赛试题、高等数学试题进行加工、改造、演变成为高考试题，还有个别的创新试题。下面举个例子来说明高考数学试题来源于历年的高考试题。
题目：（2009年高考山东理科第20题）等比数列{ }的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 ，证明：对任意的 ，不等式成立
1．命题意图及解法
本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
分析：本题难在第（2）问，而第（2）问的实质是证明不等式＞ ①
标准答案对不等式①的证明比较复杂，下面针对不等式①作进一步的研究和探讨。
2．不等式①的渊源
不等式①曾在很多次高考中出现，如：
（2009年高考广东理科第21题）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；
（2）证明： .
本题第（2）问左边证明不等式＜，即证明不等式＜ ②
（2009年高考福建理科第22题） 已知函数f(x)=ln(1+x)-x（1）求f(x)的单调区间；
（2）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为，令an=ln(1+n)- .
①如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
②求证：＜ -1
本题第（2）问中②必须要证明不等式＜，即证明不等式＜ ③
（1998年全国高考文科第25题）已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=100．
(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项an =lg(1＋ )，记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与 lgbn+1的大小，并证明你的结论．
本题由（1）可得，比较Sn与 lgbn+1的大小实质上是在比较与
的大小关系，这又归结到证明不等式 ④
其实这个不等式的雏形最早出现在1985年上海高考数学理科卷第八题，原题如下：求证 ⑤
这五个不等式的本质是一样的，为了方便起见，我们证明下面的不等式⑥就可以了， ⑥
3．不等式⑥的证明
证法1：构造数列，使，从而
＞，故＞，即数列单调递增，又＞1，＞1，所以＞1，即
证法2：构造数列的积。设，设数列的积为，即 =，易求得，而＜ =＞0，故＞，即
证法3：构造对偶式。记P=，Q=，则
P=＞ =Q，即P＞Q，则＞PQ=2n+1，即P＞，也就证明了
证法4：利用假分数的一个性质可得
即
证法5：累乘法。由2n=＞可得＞，令n=1，2，，n，然后累乘可得
证法6：利用重要不等式。因为＞，＞，，＞，所以 =
证法7：＞＞0，＞，依次取m=2，4，6，，2n并累乘得
证法8：数学归纳法。(i)当n=1时，易验证⑥式成立．
(ii)假设当n=k (k≥1)时，⑥式成立，即(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )＞，
那么，当n=k＋1时，(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ )＞ (1＋ )
=(2k＋2)．
∵ [ (2k＋2)]2－[ ]2==＞0，
∴ (2k＋2) ＞ =．
因而 (1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ )＞．
这就是说①式当n=k＋1时也成立．
由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．
证法9：利用贝努利不等式的一个特例 (此处 )得
4．后记
从上述对不等式①的渊源分析以及解法分析来看，命题者动了很多心思，综合了很多数学知识点，出了一道数学思想和方法的“大汇合”的好题。本题的多种解题策略无不将数学的简单美，对称美，和谐美，奇异美与问题的条件和结论自然融合，同时还警示我们用题海战术处理高考年复习是徒劳的，教师必须高瞻远瞩地研究和探讨历年高考经典试题，分析这些题目的背景以及更深层次的东西，挖掘其数学思想和方法，从内涵和外延两个角度去认识和理解，这样我们的高考复习既高效又省力。
总之，我们通过对历年（特别是近几年）来高考试题的深入研究，弄清楚这些试题的来源和命题者的考查意图，这样有助于把握高考的复习方向和有针对性的进行综合训练，为学生在高考中取得优异成绩是一项必不可少的工作。
本文发表于《中学生数学》
